A demonstração tem estado sempre ligada à validação das ideias matemáticas. Em fases anteriores encarada como verdades absolutas, nos dois últimos séculos com perspectivas relativas. A verdade em matemática é hoje assumida como um conceito relativo, embora nem sempre tenha sido assim. Foi na geometria que esta ideia se tornou mais forte com a invenção das geometrias não-euclidianas. Davis e Hersh (1986/90) referem muito claramente estas ideias no seu livro Descartes Dream:
A posição de Eric Temple Bell, no princípio dos anos 30, é muito interessante e eu gostava de a descrever. Bell era um matemático distinto e um historiador da matemática. Era também um pouco romancista e escreveu romances de ficção científica. Em 1934 escreveu um livro notável, chamado A busca da Verdade. Agora parece muito desactualizado, mas eu acho que Bell falava pelo conjunto dos matemáticos dos anos 20 e 30. Aqui está a forma como eu resumo o seu livro: 1. A matemática é um instrumento criado pela mente. 2. Não tem relação com os absolutos metafísico ou teológico. 3. “A certeza desapareceu e não há esperança no seu regresso” (Esta é uma citação directa.) 4. A matemática não pode estabelecer a verdade. 5. A matemática contribui para grandes marcos na história das ideias. A primeira é a ideia de medida. Bell situa-a por volta de 4000 a.C.. A segunda é a noção de demonstração e esta situa-a por volta de 500 a.C.. Também diz, de passagem, que as demonstrações são as cadeias que amarram a razão humana há 2300 anos. A terceira grande ruptura foi o aparecimento das geometrias não euclidianas em 1826, e a quarta foi a descoberta recente das lógicas multivalentes, das quais ele esperava tremendos avanços novos para que a matemática crescesse.
Segundo Hanna (1990) o formalismo desenvolveu-se para eliminar a necessidade de recorrer à evidência intuitiva e ao julgamento humano, por serem ambos vistos como fontes potenciais de erros graves. Dentro do formalismo, a verdade de uma afirmação reside apenas nos axiomas e na consistência interna do próprio sistema. Avançando pela história do formalismo esta investigadora chega a Gödel que mostrou, em 1931, que a formalização de uma teoria não garante o estabelecimento definitivo da sua consistência e que, além disso, num sistema formal consistente há sempre teoremas que não podem ser demonstrados. A ilusão trazida pelo formalismo de que era possível definir todas as regras para o estabelecimento da verdade, foi desmoronada pelo próprio formalismo e introduziu grandes controvérsias dentro da comunidade matemática sobre a questão da demonstração.
Não deveria existir nenhum desacordo acerca da demonstração matemática. Todo a gente olha com inveja a suposta unanimidade dos matemáticos; mas de facto existe uma controvérsia consideravelmente grande na matemática. Os matemáticos puros negam as demonstrações dos matemáticos aplicados, enquanto que os lógicos, por sua vez, repudiam as dos matemáticos puros. Os logicistas desprezam as demonstrações dos formalistas e alguns intuicionistas rejeitam com desdém as demonstrações de logicistas e formalistas. (p. 21) Imre Lakatos (1987), ¿Que es que lo que prueba una prueba matematica?
Cristina Loureiro in spiem.pt - Demonstração – uma questão polémica